Jump to content
Elmxana
  • Qeydiyyat
Sign in to follow this  
Balaqardaş Bəşir

Kubun səthində iki nöqtə arası ən qısa məsafə

Recommended Posts

edX-da bir kursda sadə bir sual var idi. Təxmini belə bir şey, " aşağıdakı şəkildə A nöqtəsindən G nöqtəsinə gedən ən qısa yol budurmu - A-B-G? Elədirsə, niyə? Deyilsə, niyə və ən qısa yol necədir? Sadəcə kubun səthi ilə hərəkət etmək olar.".

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcT_EXMMt7ix5ikzbWuGNpfPNwyaANe6QwQ8PsbYB2CKsM0Ei3F8

Sualın cavabı sadədir, yox A-X-G (X misal üçün E-F tilinin tən yarısındakı nöqtə, və ya bənzər nöqtələr) yolu daha qısadır. Burda sadə həll yolu göstərilib. Özüm isə bir az fərqli yolla gedib x-dan asılı bir tənlik aldım (x E və X nöqtələri arası məsafə), daha sonra minimumu tapmaq üçün birinci tərti törəməsini 0-a bərabər edim, tənliyi həll etdim, \(x=0.5\) çıxdı. Bu isə mənə maraqlı bir ideya gətirdi, elə bir funksiya tərtib etmək olar ki, kubun səthi üzərində iki nöqtə arasındakı ən qısa məsafəni tapsın? Əgər, qura bilsək bir az növbəti mərhələyə keçmək olar, misal üçün paralelipiped  cisim üzərində hərəkət, piramida, 4-ölçülü kub və s.
PS. Mövzunun topologiya olduğunu tam əmin deyiləm, dəyişmək istəyən edə bilər

Share this post


Link to post
Share on other sites

Qonşu üzlərdəki istənilən iki nöqtə arasında ən qısa məsafəni tapmaq:

Bunun üçün kubdakı birinci nöqtənin(A) yerləşdiyi üzdəki bir təpəni koordinat başlanğıcına yerləşdiririk. Deyək ki, qonşu üzlə birləşən tillər \(y\) oxu, ona perpendikulyar olan tillər də \(x\) oxu olsun. Artıq kubun üzərindəki iki nöqtəni koordinatlarla ifadə eləmək olar(yəqin ki, yuxarıda yazdığın spesifik hal üçün də bu cür həll eləmisən).

?qa=blob&qa_blobid=16405773238077873246

Tutalım ki, A nöqtəsi \((x_1, y_1, 0)\) şəklində, B nöqtəsi də \((x_2, y_2, z_2)\) şəklində verilib. Deməli A-dan B-yə ən qısa yol: \((x_1, y_1, 0)\rightarrow(a, y_2, 0)\rightarrow(x_2, y_2, z_2)\) şəklində göstərilə bilər. Burada bütün koordinatlar məlumdur, \(a\)-dan başqa. Nöqtələr arasındakı məsafələri hesablayıb toplasaq, a-dan asılı funksiya alınar: $$f(a)=\sqrt{(a-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(0)^2}+\sqrt{(x_2-a)^2+(y_2-y_2)^2+(z_2)^2}.$$ Bu funksiyanın 1-ci tərtib törəməsini sıfıra bərabər eləsək, alınan tənliyin kökü bizə \(a\) koordinatını verəcək: $$\frac{df}{da}=\frac{a-x_1}{\sqrt{(a-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(0)^2}}+\frac{a-x_2}{\sqrt{(x_2-a)^2+(y_2-y_2)^2+(z_2)^2}}=0$$

Bu, istənilən çoxüzlünün qonşu üzlərində olan nöqtələr üçün keçərli həll yoludur.

İstənilən çoxüzlünün(məs. prizma) qonşu üzlərindəki iki nöqtə arasındakı ən qısa məsafə üçün \((a, y_2, 0)\) əvəzinə \((a, y_c, 0)\) aralıq nöqtəsini istifadə etməliyik. Burada \(y_c\) , iki üzü birləşdirən tilin \(y\) koordinatıdır. Əlavə olaraq, bu tilin əhatə etdiyi koordinatlar \(f\) funksiyasının təyin oblastı götürülməlidir, çünki ixtiyari çoxüzlüdə perpendikulyar olan til \(y\) oxu ilə paralel olmaya bilər, \(a\) nöqtəsi çoxüzlünün tilinə daxil olmayan nöqtə ola bilər. Bütün məsələ, çoxüzlünün A nöqtəsinin yerləşdiyi üzün \(z\) koordinatını 0-a bərabər etmək, üzləri birləşdirən tili isə \(x\) oxuna paralel vəziyyətə gətirməkdən ibarətdir.

6 üzlünün qarşı üzlərindəki nöqtələr arasında ən qısa məsafə:

Bu yuxarıdakının daha ümumi halıdır. Fərqli olaraq \(f\) funksiyası təkcə \(a\) -dan yox, bir neçə dəyişəndən asılı olaraq çox kompleks bir funksiya formalaşdıracaq. Burada çox dəyişənli funksiyanın bu dəyişənlərə görə birinci tərtib törəməsini sıfıra bərabər edib sistem tənlik şəklində həll etmək lazımdır.

P.S. Bu hala tam olaraq nəzər yetirməmişəm, gözdən qaçırdığım nüanslar ola bilər. Əgər bir səhvlik olarsa bildirərsiniz.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now
Sign in to follow this  

×